Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．

Answer 1

（1）41
（2）f(n)＝2n²－2n＋1.
（3）－.

解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
……
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
∴f(n)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n²－2n＋1(n≥2)．
又n＝1满足上式，
所以f(n)＝2n²－2n＋1.
(3)当n≥2时，
＝＝ (－)，
∴＋＋＋…＋
＝1＋ (1－＋－＋－＋…＋－)
＝1＋ (1－)
＝－.