Question

对于函数f(x)=

2x•ex，x≤0 x2-2x+ 1 2 ，x＞0

有下列命题：
①在该函数图象上一点（-2，f（-2））处的切线的斜率为-

2

e2

；
②函数f（x）的最小值为-

2

e

；
③该函数图象与x轴有4个交点；
④函数f（x）在（-∞，-1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①在该函数图象上一点（-2，f（-2））处的切线的斜率为f′（2），求导数即可；
②④考查函数的单调性和最值，应分x≤0和x＞0两种情况分别用导数求解；
③结合②中函数的性质画出草图解决，注意x＜0时，f（x）恒小于0，且f（x）=0．

解答：解：x≤0时，f（x）=2xe^x，f′（x）=2（1+x）e^x，故f′（-2）=-

2

e2

，①正确；
且f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，故x≤0时，f（x）有最小值f（-1）=-

2

e

，
x＞0时，f（x）=x2-2x+

1

2

在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f（x）有最小值f（1）=-

1

2

＞-

2

e

故f（x）有最小值-

2

e

，②④正确；因为x＜0时，f（x）恒小于0，且f（x）=0，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；
故答案为：①②④

点评：本题考查分段函数的性质问题，综合性强，考查学生运用知识解决问题的能力．