Question

已知圆x²+y²=1与抛物线y=x²+h有公共点，则实数h的取值范围是

h∈[-

5

4

，1]

．

Answer 1

分析：题目给出的圆是单位圆，而抛物线是以y轴为对称轴，开口向上的抛物线，显然，h不能大于1，当抛物线向下平移时，还要保证抛物线与圆至少相切，联立抛物线方程与圆的方程后，化为关于y的一元二次方程，只要让判别式大于等于0，即可求得h≥-

5

4

，取交集即可得到h的范围．

解答：解：如图，
由

x2+y2=1 y=x2+h

，得：y²+y-h-1=0，
要使圆x²+y²=1与抛物线y=x²+h有公共点，
则关于y的一元二次方程y²+y-h-1=0有实数根，
则△=1²-4×1×（-h-1）≥0，
解得：h≥-

5

4

．
由图象可知h≤1．
所以，使得圆x²+y²=1与抛物线y=x²+h有公共点的实数h的取值范围是[-

5

4

，1]．
故答案为[-

5

4

，1]．

点评：本题考查了圆与圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此题时，如果仅限于联立后的方程的判别式大于等于0，将会得到错误的答案，原因是方程y²+y-h-1=0不能取到所有实数y，此题是中档题．