Question

定义在（0，+∞）上的增函数f（x）满足：对任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1） 的值；
（2）请举出一个符合条件的函数f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²-5）-f（x）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1即可求出
（2）举一底数大于1的对手函数即可．
（3）先由f（2）=1求出f（4）=2，f（x²-5）-f（x）＜2?f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
再由单调性转化出等价不等式求解即可．

解答：解：（1）令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=log_ax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等价于f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，所以

x2-5＜4x x2-5＞0 x＞0

⇒

-1＜x＜5 x＜- 5 或x＞ 5 x＞0

⇒

5

＜x＜5
所以原不等式解集是(

5

，5)

点评：本题考查抽象函数的解题方法：赋值法及函数单调性的应用：解不等式，难度不大．