Question

计算

x2+8

x2+4

的最值时，我们可以将

x2+8

x2+4

化成

x2+4+4

x2+4

=

( x2+4 )2+4

x2+4

，再将分式分解成

x2+4

+

4

x2+4

，然后利用基本不等式求最值；借此，计算使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

对一切实数x都成立的正实数c的范围是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意，将不等式的左边进行分离为

x2+c

+

1

x2+c

，这是积为定值的两个式子的和．在x²+c=1时，即x²=-c+1≥0，它的最小值为2．此时c∈（0，1]．接下来讨论当c＞1时和0＜c≤1的两种情况下不等式左边的最小值，再解这个最小值大于或等于

1+c

c

，最后可得正实数c的范围．

解答：解：根据已知条件给出的模型，得到启发：

x2+1+c

x2+c

=

x2+c

x2+c

+

1

x2+c

=

x2+c

+

1

x2+c

≥2

x2+c • 1 x2+c

=2
当且仅当

x2+c

=

1

x2+c

时等号成立，此时x²+c=1
①当c＞1时，x²+c＞1，以上不等式的等号不能成立，
所以

x2+1+c

x2+c

的最小值应该是x=0时的值，即(

x2+1+c

x2+c

) min =

1+c

c

因此不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

对一实数x都成立，符合题意．
②当0＜c≤1时，(

x2+1+c

x2+c

) min =2
若要使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

对一切实数x都成立
必须有：2≥

1+c

c

成立，可得
2

c

≥1+c⇒(

c

-1) 2≤0⇒c=1
综上所述，c∈[1，+∞）
故答案为：[1，+∞）

点评：本题以不等式恒成立和函数的最值为载体，考查了类比推理的方法，属于中档题．归纳推理与类比推理都属于合情推理，是数学发现的常用推理过程．