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已知A(-2,0),B(2,0),动点P与A、B两点连线的斜率分别为,且满足·=t (t≠0且t≠-1). 当t<0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O,求t的取值范围.

见解析


解析:

当-1<t<0时,曲线C为焦点在x轴上的椭圆,

=r1= r2, 则r1+ r2=2a=4.

在△F1PF2中,=2c=4,

∵∠F1PF2=120°,由余弦定理,得4c2=r+r-2r1r2= r+r+ r1r2

= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-()2=3a2, ∴16(1+t)≥12, ∴t≥-.

所以当-≤t<0时,曲线上存在点Q使∠F1QF2=120°

当t<-1时,曲线C为焦点在y轴上的椭圆,

=r1= r2,则r1+r2=2a=-4 t,

在△F1PF2中, =2c=4.

∵∠F1PF2=120O,由余弦定理,得4c2=r+r-2r1r2= r+r+ r1r2

= (r1+r2)2-r1r2≥(r1+r2)2-()2=3a2, ∴16(-1-t)≥-12tt≤-4.

所以当t≤-4时,曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O

综上知当t<0时,曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是

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(2)当t<0时,曲线C的两焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O

求t的取值范围.

 

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