Question

已知在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x²+y²-6x+5=0，点A、B在⊙C上，且AB=2

3

，则|

OA

+

OB

|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：向量的模

专题：平面向量及应用

分析：本题可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将

OA

+

OB

转化为

OM

，用根据AB=2

3

得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出|

OA

+

OB

|的最大值．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M（x′，y′）．
∵x′=

x1+x2

2

，y′=

y1+y2

2

∴

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂）=2

OM

，
∵圆C：x²+y²-6x+5=0，
∴（x-3）²+y²=4，圆心C（3，0），半径CA=2．
∵点A，B在圆C上，AB=2

3

，
∴CA²-CM²=（

1

2

AB）²，
即CM=1．
点M在以C为圆心，半径r=1的圆上．
∴OM≥OC-r=3-1=2．
∴|

OM

|≥2，|

OA

+

OB

|≥4．
故答案为：4．

点评：本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用AB中点M去研究，先通过坐标关系，将

OA

+

OB

转化为

OM

，用根据AB=2

3

得到M点的轨迹，由图形的几何特征，求出

OM

模的最大值，得到本题答案．