在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$．以坐标原点为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ=2．(Ⅰ) 若点M的直角坐标为.直线l与曲线C1交于A.B两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）若点M的直角坐标为（2，$\sqrt{3}$），直线l与曲线C₁交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值．
（Ⅱ）设曲线C₁经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x\\ y'=\frac{1}{2}y\end{array}\right.$得到曲线C₂，求曲线C₂的内接矩形周长的最大值．

分析（Ⅰ）求得曲线C的直角坐标方程，把直线l代入圆的直角坐标方程，化简后利用韦达定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可求得|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）设矩形的顶点坐标为（x′，y′），则根据x′，y′的关系消元得出P关于x（或y）的函数，利用导数，求出此函数的最大值．

解答解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=2，则曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=4，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，转化成普通方程为：y-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x²+y²=4，
整理得：t²+5t+3=0，
△＞0，故t₁，t₂是方程的两个根，
∴t₁+t₂=-5，t₁•t₂=3，
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5；
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2\sqrt{3}}{3}x′}\\{y=2y′}\end{array}\right.$代入曲线C的方程得：$\frac{x{′}^{2}}{3}+y{′}^{2}=1$，
设曲线C′的内接矩形周长为P，
曲线C′的内接矩形的第一象限内的顶点为N（x′，y′）（0＜x＜$\sqrt{3}$，0＜y＜1），
x′²+3y′²=3，x′=$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$，
P=4x′+4y′=4$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$+4y′，
令f（y）=4$\sqrt{3-3y{′}^{2}}$+4y′，
f′（y）=$\frac{-12y′}{\sqrt{3-3y{′}^{2}}}$+4，
令f′（y′）=0得y=$\frac{1}{2}$，
当0＜y′＜$\frac{1}{2}$时，f′（y′）＞0，当$\frac{1}{2}$＜y＜1时，f′（y′）＜0．
∴当y′=$\frac{1}{2}$时，f（y）取得最大8．
曲线C′的内接矩形周长的最大8．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，利用导数求函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．．

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