Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-

ax

x+1

，曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线4x+y=0垂直，求实数a的值，并证明x＞0时，f（x）＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：求出函数的导数和切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解得a=1，通过函数f（x）的导数，判断x＞0时导数的符号，得到单调性，即可证得f（x）＞f（0）=0．

解答： 解：函数f（x）=ln（x+1）-

ax

x+1

的导数为f′（x）=

1

x+1

-

a

(x+1)2

，
曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=

1

2

-

a

4

，
由于切线与直线4x+y=0垂直，则（

1

2

-

a

4

）•（-4）=-1，
解得a=1．
证明：f（x）=ln（x+1）-

x

x+1

的导数为
f′（x）=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

，
由于x＞0，则f′（x）＞0，f（x）递增，
即有f（x）＞f（0）=0．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查两直线垂直的条件，运用函数的单调性是解题的关键．