Question

1．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，直线x=my-1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△OAB面积的最大值；
（3）当m∈R时，判断点G（-2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y₁-y₂|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；
（3）设AB中点为H（x₀，y₀），运用中点坐标公式可得y₀，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|²-$\frac{1}{4}$|AB|²，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．

解答 解：（1）由题意可得2b=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由a²-b²=c²，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线x=my-1代入椭圆的方程可得，
（3+m²）y²-2my-2=0，
判别式为4m²+8（3+m²）＞0恒成立，
y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
设直线与x轴的交点为N（-1，0），
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2m}{3+{m}^{2}}）^{2}+\frac{8}{3+{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$|ON||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{2+{m}^{2}}}{3+{m}^{2}}$，
令$\sqrt{2+{m}^{2}}$=t（t≥$\sqrt{2}$），则m²=t²-2，
∴S_△AOB=$\frac{\sqrt{3}t}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{t+\frac{1}{t}}$，
∵t≥$\sqrt{2}$，t+$\frac{1}{t}$是增函数，
∴当t=$\sqrt{2}$，即m=0时，S_△AOB取得最大值，最大值为$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）AB中点为H（x₀，y₀）．
由（2）可得，y₁+y₂=$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{3+{m}^{2}}$．
G（-2，0），
∴|GH|²=（x₀+2）²+y₀²=（my₀+1）²+y₀²=（1+m²）y₀²+2my₀+1
=（1+m²）•$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$+1，
|AB|²=（1+m²）（y₁-y₂）²=（1+m²）[$\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{8}{3+{m}^{2}}$]，
故|GH|²-$\frac{1}{4}$|AB|²=（1+m²）•$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$+1-（1+m²）[$\frac{{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$+$\frac{2}{3+{m}^{2}}$]
=$\frac{1+{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$＞0．
∴|GH|＞$\frac{|AB|}{2}$，故G在以AB为直径的圆外．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线与椭圆的位置关系，点和圆的位置关系的判断，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．