Question

5．已知函数f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx，在[0，2π]内的零点个数为2；若x∈[0，π]，则它的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，求出方程的解，从而得到函数的零点个数；（2）由f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），根据x的范围，结合三角函数的性质，求出函数的值域．

解答 解：（1）令f（x）=0，
∴sinx-$\sqrt{3}$cosx=0，
∴tanx=$\sqrt{3}$，
∴x=$\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}$，
故零点的个数为2个；
（2）f（x）=2（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
∵0≤x≤π，∴-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴x=0时，f（x）最小，f（x）_最小值=-$\sqrt{3}$，
x=$\frac{5π}{6}$时，f（x）最大，f（x）_最大值=2，
∴函数的值域是[-$\sqrt{3}$，2]，
故答案为：2，[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查函数的值域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．