Question

（2013•成都模拟）设非空集合s={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x²∈S．给出如下三个命题：
①若m=1，则S={1}；
②若m=-

1

2

，则

1

4

≤l≤1；
③若l=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0．
④若l=1，则-1≤m≤0或m=1．
其中正确命题的是

①②③④

．

Answer 1

分析：由“当x∈S时，有x²∈S”可推得参数m的值一定大于等于-1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，通过解出不等式组对四个命题逐个进行验证即可．

解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有y=x²∈S可知：
符合定义的参数m的值一定大于等于-1，符合条件的l的值一定大于等于0，小于等于1，
如此才能保证l∈S时，有l²∈S即l²≤l，再对各个命题进行判断：
对于①m=1，m²=1∈S故必有

l2≤l l≥1

，可得l=1，S={1}，故正确；
②m=-

1

2

，m2=

1

4

∈S则

l2≤l l≥ 1 4

，解得

1

4

≤l≤1，故正确；
③若l=

1

2

，则

m≤ 1 2 m2≥m m2≤ 1 2

，可解得-

2

2

≤m≤0，故正确；
④若l=1，则

m≤1 m2≥m m2≤1

可解得-1≤m≤0或m=1，故正确．
故答案为：①②③④

点评：本题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．