Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周长为12，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的最大值和最小值；
（Ⅲ）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|=|BD|？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设2a=8，2a+2c=12，
则a=4，c=2，b²=12，
所以椭圆的方程是；
（Ⅱ）易知F₁=（-2，0），F₂（2，0），
设P（x，y），
则
，
因为x∈[-4，4]，所以x²∈[0，16]，8≤≤12，
点P为椭圆短轴端点时，有最小值8；
点P为椭圆长轴端点时，有最大值12。
（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以若直线l存在，则直线l的斜率也存在，
设直线l的斜率为k．则直线l的方程为y=k（x-8），
由方程组，
则，
设交点C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD的中点为T（x₀，y₂），
则，
，
因为|BC|=|BD|，则BT⊥CD，，
于是，
方程无解，所以不存在满足题目要求的直线l。