Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆C的方程为 ．

由题意

解得a2=16，b2=12．

所以椭圆C的方程为

（2）解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为 ，故﹣4≤x≤4．

因为 ，

所以 = ．

因为当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

即当x=4m时， 取得最小值．而x∈[﹣4，4]，

故有4m≥4，解得m≥1．

又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．

故实数m的取值范围是m∈[1，4]．

【解析】（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，根据焦点坐标和长轴长与短轴长的比联立方程求得a和b，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，根据椭圆的性质可判断x的范围．代入 判断因为当 最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，

进而求得m的范围．点M在椭圆的长轴上进而推脱m的最大和最小值．综合可得m的范围．