Question

已知函数f(x)=

x

2

，g(x)=log2x，F(x)=f(x)-g(x)
（1）在同一在直角坐标系内作出函数f（x），g（x）的图象；
（2）利用图象求F（x）＞0的解集；
（3）已知函数y=F(x)-

1

2

的零点是1和x₀，若x₀∈（n，n+1）（n∈N），求n的值；
（4）若已知x（x²+3x-6）＞0，解不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．

Answer 1

分析：（1）根据F（x）=

1

2

x-log2x（x＞0）分类讨论：当0＜x≤1时，当1＜x＜2时，比较f（x）和g（x）函数值的大小，进一步得出函数f（x）=

1

2

x，g（x）=log₂x的图象有2个交点，再画出图象．
（2）由图象可得，当0＜x＜2，或x＞2时，f（x）＞g（x），当2＜x＜4时，f（x）＜g（x），从而得出F（x）＞0的解集；
（3）由函数y=F(x)-

1

2

的零点是1可得

1

2

x-log2x-

1

2

=0即x-1-2log₂x=0的根为1和x₀令G（x）=x-1-2log₂x根据零点存在定理可知，x₀∈（5，6）从而得出n=5；
（4）先对不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．两边取以2为底的对数得：x+3+log₂x²＜

6

x

+log₂（x²+3x-6）²最后整理成

1

2

（

x2+3x-6

x

）＜log₂

x2+3x-6

x

，从而由（1）得出2＜

x2+3x-6

x

＜4．解之即可．

解答：解：（1）∵F（x）=

1

2

x-log2x（x＞0）
当0＜x≤1时，f（x）＞0，g（x）＜0．f（x）＞g（x）
当1＜x＜2时，f（x）＞g（x）
而f（2）=g（2）=1，f（4）=g（4）=2但是函数f（x）=

1

2

x与g（x）=log₂x在（4，+∞）都是单调递增，
但是函数f（x）比函数g（x）的增加速度快
当x＞4时，f（x）＞g（x）
∴函数f（x）=

1

2

x，g（x）=log₂x的图象有2个交点，其图象如图所示


（2）由图象可得，当0＜x＜2，或x＞2时，f（x）＞g（x），即F（x）＞0
当2＜x＜4时，f（x）＜g（x），即F（x）＜0
∴F（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2或x＞4}．

（3）由函数y=F(x)-

1

2

的零点是1可得

1

2

x-log2x-

1

2

=0即x-1-2log₂x=0的根为1和x₀
令G（x）=x-1-2log₂x
G（1）=0，而G（6）=5-2log₂6＞0，G（5）=4-2log₂5＜0
根据零点存在定理可知，x₀∈（5，6）
∴n=5．
（4）不等式：2x+3•x2＜2

6

x

•（x²+3x-6）²．
两边取以2为底的对数得：
x+3+log₂x²＜

6

x

+log₂（x²+3x-6）²
即x+3-

6

x

＜log₂（x²+3x-6）²-log₂x²
即

1

2

（

x2+3x-6

x

）＜log₂

x2+3x-6

x

从而由（1）得出2＜

x2+3x-6

x

＜4．
即

x＞0 2x＜x2+3x-6＜4x

①或

x＜0 2x＞x2+3x-6＞4x

②
解①得2＜x＜3；解②得-3＜x＜-2
∴原不等式的解集为（-3，-2）∪（2，3）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的图象与性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．