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【题目】已知椭圆的焦距为,左、右顶点分别为,是椭圆上一点, 记直线的斜率为,且有.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线与椭圆交于两点, 为直径的圆经过原点, 且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.

【答案】(1);(2).

【解析】

试题分析:(1)由题意可得,设,代入椭圆方程,运用直线的斜率公式,化简整理,计算可得,进而得到椭圆方程;

(2)将直线代入椭圆,设,运用韦达定理和中点坐标公式,以及两直线垂直的条件:斜率之积为,化简整理,解方程可得,进而得到所求直线的方程.

试题解析:(1)依题意,, ,则有 ,即,

,又,

即椭圆的方程为.

(2)设的中点为,联立得到

,

因为以为直径的圆经过顶点,,

,化简得

式代入得到代入式得,.

由于线段的垂直平分线经过点,,将代入得到

联立③④,,

直线的方程为.

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