Question

【题目】某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．

（1）求θ关于x的函数关系式；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可知2（14﹣x）+（14+x）θ=36，

所以

（2）解：花坛的面积为 ，

装饰总费用为4×2（14﹣x）+16×（14+x）θ=24（x+10），

所以花坛的面积与装饰总费用之比为 ，

令t=x+10，t∈（10，24），

则 ，

当且仅当t=12取等号，此时x=2， ，

故花坛的面积与装饰总费用之比为 ，

且y的最大值为

【解析】（1）根据扇形的周长公式即可得出θ关于x的函数关系式，（2）表示出花坛的面积，得出花坛的面积与装饰总费用之比的表达式，令t=x+10，进行换元，利用基本不等式可求得最大值.
【考点精析】关于本题考查的基本不等式在最值问题中的应用和扇形面积公式，需要了解用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”；若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，才能得出正确答案．