Question

（2009•嘉定区一模）（理）已知函数f（x）=-x²+2ax+a-1在区间[0，1]上的最大值为1，则a的值为

1

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=-x²+2ax+a-1的解析式，根据二次函数的图象及性质，我们可以判断出函数f（x）=-x²+2ax+a-1的图象是以直线x=a为对称轴，且开口朝下的抛物线，分a≤0，a≥1，0＜a＜1三种情况，讨论函数f（x）=-x²+2ax+a-1在区间[0，1]上的最大值，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=-x²+2ax+a-1的图象是以直线x=a为对称轴，且开口朝下的抛物线
a≤0时，f（x）在[0，1]上单调减，最大值为f（0）=a-1=1，a=2（舍去）
a≥1时，f（x）在[0，1]上单调增，最大值为 f（1）=3a-2=1，a=1
0＜a＜1时，f（x）在[0，1]上的最大值为f（a）=a²+a-1=1，a=1或-2（舍去）
综上：a=1
故答案为：1

点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中分类讨论是解答本题的方法，在处理此类问题时，要分区间在对称轴左侧，区间在对称轴右侧和区间在对称轴两侧，三种情况．