Question

17．中心在原点，焦点坐标为$（±\sqrt{2}，0）$的椭圆被直线y=x+1截得的弦中点横坐标为$-\frac{2}{3}$，则椭圆方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），弦的两个端点为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，把x₁+x₂=2×$（-\frac{2}{3}）$=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，代入及其a²=b²+c²，c=$\sqrt{2}$，联立解出即可得出．

解答 解：由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
弦的两个端点为：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相减可得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$=0，
x₁+x₂=2×$（-\frac{2}{3}）$=-$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2×$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
-$\frac{4}{3{a}^{2}}$+$\frac{2}{3{b}^{2}}$=0，a²=b²+c²，c=$\sqrt{2}$．
联立解得：a=2，b=$\sqrt{2}$．
∴此椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．