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    （2007•杨浦区二模）（理）设斜率为k1的直线L交椭圆C：
    x2
    2
    +y2=1    于A、B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1、k2都存在）．
    （1）求k1?k2的值．
    （2）把上述椭圆C一般化为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    （a＞b＞0），其它条件不变，试猜想k1与k2关系（不需要证明）．请你给出在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）中相类似的结论，并证明你的结论．
    （3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．
    如果概括后的命题中的直线L过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线L及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．
    分析：（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程，根据方程的根与系数关系求弦中点M的坐标为(-
    2bk1
    1+2k12
    ，
    2b
    1+2k12
    )    ，代入可得k2=-
    1
    2k1
    ，从而可求
    （法二）（利用点差法）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），由
    1
    2
    x12+y12=1    与
    1
    2
    x22+y22=1    作差得 -
    1
    2
    =
    (y2-y1)(y2+y1)
    (x2-x1)(x2+x1)
    可求
    （2）已知斜率为K1的直线L交双曲线
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．
    则k1，k2?的值为
    b2
    a2

    （解一）设直线方程为y=k1x+d，代入
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （（a＞0，b＞0）方程并整，根据方程的根与系数的关系代入可求k1k2=
    b2
    a2
    （解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）由点A，B在双曲线上，则利用点差法可求
    （3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则k1k2=-
    m
    n
    ．
    解答：（解一）：（1）设直线方程为y=k1x+b，代入椭圆方程并整理得：（1+2k12）x2+4k1bx+2b2-2=0，（2分）
    x1+x2=-
    4k1b
    1+2k2
    ，又中点M在直线上，所以
    y1+y2
    2
    =k1•
    x1+x2
    2
    )+b
    从而可得弦中点M的坐标为(-
    2bk1
    1+2k12
    ，
    2b
    1+2k12
    )    ，k2=-
    1
    2k1
    ，所以k1k2=-
    1
    2
    ．（4分）
    （解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0） 则x0=
    x1+x2
    2
    ，y0=
    y1+y2
    2

    K2=
    y0
    x0
    =
    y1+y2
    x1+x2
    ，k1=
    y2-y1
    x2-x1
       （2分）
    又
    1
    2
    x12+y12=1    与
    1
    2
    x22+y22=1    作差得  -
    1
    2
    =
    (y2-y1)(y2+y1)
    (x2-x1)(x2+x1)

    所以 K1K2=-
    1
    2
                （4分）
    （2）对于椭圆，K1K2=-
    b2
    a2
      （6分）
    已知斜率为K1的直线L交双曲线
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）于A，B两点，点M 为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设K1、k2都存在）．
    则k1，k2?的值为
    b2
    a2
    ． （8分）
    （解一）设直线方程为y=k1x+d，代入
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （（a＞0，b＞0）方程并整理得：（b2-a2k12）x2-2k1a2dx-（ad）2-（ab）2=0
    1
    2
    (y1+y2)=
    db2
    b2-a2k12
    ，
    所以K2=
    y0
    x0
    =
    y1+y2
    x1+x2
    =
    b2
    k1a2
    ，k1=
    y2-y1
    x2-x1
     （2分），即k1k2=
    b2
    a2
         （10分）
    （解二）设点A（x1，y1），B（x2，y2），中点中点M（x0，y0）
    则x0=
    x1+x2
    2
    ，y0=
    y1+y2
    2
    ，K2=
    y0
    x0
    =
    y1+y2
    x1+x2
    ，k1=
    y2-y1
    x2-x1
     （2分）
    又因为点A，B在双曲线上，则
    x12
    a2
    -
    y12
    b2
    =1    与
    x22
    a2
    -
    y22
    b2
    =1    作差得
    a2
    b2
    =
    (y2-y1)(y2+y1)
    (x2-x1)(x2+x1) 
    =k1k2    即k1k2=
    b2
    a2
     （10分）
    （3）对（2）的概括：设斜率为k1的直线L交二次曲线C：mx2+ny2=1（mn≠0）于A，B两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2（其中O为坐标原点，假设k1，k2、都存在），则k1k2=-
    m
    n
    ．（12分）
    提出问题与解决问题满分分别为（3分），提出意义不大的问题不得分，解决问题的分值不得超过提出问题的分值．
    提出的问题例如：直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，当P异于A，B两点时，如果直线PA，PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．（15分）
    解法1：设直线方程为y=kx，A，B两点坐标分别为（x1，y1）、（-x1，-y1），则y1=kx1
    把y=kx代入mx2+ny2=1得（m+nk2）x2=1，
    KPA•KPB=
    (y0-y1)(y0+y1)
    (x0-x1)(x0+x1)
    =
    y02-y12
    x02-x12
    ，
    所以KPA•KPB=
    1-mx02
    n
    -
    k2
    m+nk2
    x02-
    1
    m+nk2
    =
    m-m(m+nk2)x02
    n(m+nk2)x02-n
    =-
    m
    n
    （18分）
    提出的问题的例如：直线L：y=x，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点．试问使∠APB=30°的点P是否存在？（13分）
    问题例如：1）直线L过原点，P为二次曲线线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求PA+PB的值．
    2）直线l过原点，P为二次曲线mx2+ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A，B两点，求S△PAB的最值．
    点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，解题的关键是能够由椭圆的性质归纳推理 到一般的曲线方程，及较强的逻辑推理的运算能力
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    		10
    10
    ．
    3
    		10
    10
    ．
    ．

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