Question

（2013•太原一模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为ρ²sin²θ=2aρcosθ，从而得到y²=2ax．
（II）写出直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)，由|BC|²=|AB|，|AC|，代入可求a的值．

解答：解：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：ρsin²θ=2acosθ⇒ρ²sin²θ=2aρcosθ，
即 y²=2ax，
直线L的参数方程为：

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x-2（3分）

（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），
代入y²=2ax得到t2-2

2

(4+a)t+8(4+a)=0，
则有t1+t2=2

2

(4+a)，t1•t2=8(4+a)…（8分）
因为|MN|²=|PM|•|PN|，所以(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1•t2=t1•t2
即：[2

2

（4+a）]²-4×8（4+a）=8（4+a）
解得 a=1…（10分）

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题．