Question

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a-g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是

a≥-

17

6

．

Answer 1

分析：由题意可得g（x）+h（x）=2^x，根据函数奇偶性，推出方程g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x从而可得h（x）和g（x）的解析式，再代入不等式a-g（x）+h（2x）≥0，利用常数分离法进行求解

解答：解：解：f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=

1

2

（2x+2-x），g（x）=

1

2

（2x-2-x），
ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
a≥-

h(2x)

g(x)

对于x∈[1，2]恒成立
a≥-

4x+4-x

2x-2-x

=-（2x-2-x）+（2-x-2x）对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[

3

2

，

15

4

]则t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]，
t=

3

2

，时，则t+

2

t

=

17

6

，
∴a≥-

17

6

；
故答案为a≥-

17

6

；

点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，函数的恒成立的问题，常会转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．