Question

甲、乙两人解关于x的方程：log₂x+b+clog_x2=0，甲写错了常数b，得两根，；乙写错了常数c，得两根，64．求这个方程的真正根．

Answer 1

解：由对数的换底公式可得
整理可得，（log₂x）²+blog₂x+c=0
令t=log₂x，则 t²+bt+c=0
甲写错了常数b，
c=t₁t₂=6正确
乙写错了常数c，
b=-（t₁+t₂）=-5正确
代入可得t²-5t+6=0，
∴t₁=2t₂=3
∴x₁=4x₂=8
分析：利用对数的换底公式可把方程化简为，（log₂x）²+blog₂x+c=0，令t=log₂x，则 t²+bt+c=0，甲写错了常数b，c正确，可用两根之积求c；乙写错了常数c，b正确，可利用两根之和求b，从而可求方程正确的根．
点评：本题主要考查了对数的换底公式，对数的基本运算，一元二次方程的根与系数的关系的应用，要注意本题的易错点：方程的根是“x”，而不是“log₂x”．