Question

11．已知二次函数f（x）=x²+bx+c，方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂＜1．
（Ⅰ）当x∈（0，x₁）时，证明：x＜f（x）＜x₁；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，证明：x₀＜$\frac{x_1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，所以构造函数，当x∈（0，x₁）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x₁-f（x），化简分析出f（x）＜x₁，即可．
（2）．方程f（x）-x=0的两个根x₁，x₂，函数f（x）的图象，关于直线x=x₀对称，利用放缩法推出x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$；

解答 证明：（1）令F（x）=f（x）-x．因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，所以
F（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，得（x-x₁）（x-x₂）＞0，又1＞0，得
F（x）=（x-x₁）（x-x₂）＞0，
即x＜f（x）．
x₁-f（x）
=x₁-[x+F（x）]
=x₁-x+（x₁-x）（x-x₂）
=（x₁-x）[1+（x-x₂）]
因为0＜x＜x₁＜x₂＜1
所以x₁-x＞0，1+（x-x₂）=1+x-x₂＞1-x₂＞0．
得x₁-f（x）＞0．
由此得f（x）＜x₁．
综上x＜f（x）＜x₁；
（2）依题意知x0=-$\frac{b}{2a}$=$-\frac{b}{2}$
因为x₁，x₂是方程f（x）-x=0的根，即x₁，x₂是方程x²+（b-1）x+c=0的根．
∴x₁+x₂=-b+1，x₀=$-\frac{b}{2}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-1}{2}$
因为x₂＜1，所以x₀＜$\frac{{x}_{1}}{2}$．

点评 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．