Question

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A，sin2B，sin2C成等差数列．
（1）求tanA+3tanC的最小值；
（2）在（1）中取最小值的条件下，若$c=2\sqrt{10}$，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用sin2A，sin2B，sin2C成等差数列，可得tanAtanC=3且tanA＞0，tanC＞0，再利用基本不等式，即可求tanA+3tanC的最小值；
（2）求出tanB，可得$a=6\sqrt{2}$，sinB，即可求S_△ABC．

解答 解：（1）∵2sin2B=sin2A+sin2C，
∴2sin2B=sin[（A+C）+（A-C）]+sin[（A+C）-（A-C）]sin2B=sin（A+C）cos（A-C），
∴2cosB=cos（A-C），
∴-2cos（A+C）=cos（A-C），
∴sinAsinC=3cosAcosC，
∴tanAtanC=3且tanA＞0，tanC＞0，
∴$tanA+3tanC≥2\sqrt{3tanAtanC}=6$当且仅当tanA=3tanC，
即tanA=3，tanC=1时tanA+3tanC取得最小值6．
（2）由（1）知tanA=3，tanC=1，∴$tanB=-tan（A+C）=-\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}=2$，
∴$sinA=\frac{3}{{\sqrt{10}}}，sinB=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，sinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴$a=6\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$=24．

点评 本题考查等差数列的性质，基本不等式的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．