Question

已知函数f(x)=sinxcosx+

3

cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c²+ac-a²=bc，求边a所对角A以及f（A）的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=sinxcosx+

3

cos2x=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，由此能求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c²+ac-a²=bc，b²=ac，a²+b²-c²=bc，由此能求出边a所对角A以及f（A）的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=sinxcosx+

3

cos2x
=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x-

π

3

）+

3

2

，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且c²+ac-a²=bc，
∴b²=ac，
∴a²+b²-c²=bc，
∴cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴∠A=

π

3

60°，
∴f（A）=sin（2A-

π

3

）+

3

2

=sin

π

3

+

3

2

=

3

．

点评：本题考查三角函数的最小正周期的求法，考查解三角形的应用，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．