Question

已知圆C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ为参数)，直线l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t为参数)
（Ⅰ）求圆C的普通方程．若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程．
（ II）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）消去θ，得出圆C的普通方程为（x-2）²+y²=4，再化为极坐标方程即可．
（II）直线l的参数方程

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

，消去t得普通方程为3x-4y-6=0．利用直线和圆的位置关系判断并求解．

解答：解：（Ⅰ）圆C：

x=2+2cosθ y=2sinθ

(θ为参数)即为C：

x-2=2cosθ    ① y=2sinθ        ②

①²+②²，消去θ，得出圆C的普通方程为
（x-2）²+y²=4---------（2分）
以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
（ρcosθ-2）2+ρ²sinθ=4
化简整理得
ρ=4cosθ---------------（5分）
（ II）直线和圆相交．
直线l：

x=2+ 4 5 t y= 3 5 t

(t为参数)消去t得普通方程为3x-4y-6=0．
解法一：由于直线l过圆心（2，0），-----------（6分）
所以直线与圆相交-----------------------------（8分）
弦长为4-------------------------------------------（10分）
解法二：l：3x-4y-6=0-----------（6分）
圆心到直线的距离d=

|6-6|

32+(-4)2

=0＜r，所以直线与圆相交-------------（8分）
由于直线l过圆心（2，0），所以弦长为4-------------------------------------------（10分）

点评：本题考查把极坐标方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，直线和圆的位置关系．属于基础题．