Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AB=3，CD=2，PD=AD=5．
（1）在PD上确定一点E，使得PB∥平面ACE，并求 的值；
（2）在（1）条件下，求平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BD交AC于O，

在△PBD中，过O作OE∥BP交PD于E，

∵OE平面ACE，PB平面ACE，

∴PB∥平面ACE，

∵AB=3，CD=2，∴

（2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（5，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，0，2），P（0，0，5），

=（5，﹣2，0）， =（0，﹣2，2），

设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），

则 ，即 ，

令z=5，则x=2，y=5，∴n=（2，5，5）

取PA的中点为F，连接DF，∵AD=PD，∴DF⊥PA，

又AB⊥平面PAD，∴AB⊥DF，则DF⊥平面PAB，

即 =（ ，0， ）是平面PAB的一个法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

∴平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接BD交AC于O，过O作OE∥BP交PD于E，推导出PB∥平面ACE，由此能求出 的值．（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面ACE所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．