Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n，其中λ是不等于-1和0的常数．
（Ⅰ）证明a_n是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比q=f（λ），数列{b_n}满足b1=

1

3

，b_n=f（b_n-1）（n∈N，n≥2），求数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=S_n-S_n-1=（λ+1）-λa_n -[（λ+1）-λa_n-1 ]，得到a_n和a_n-1的关系式．再由等比数列的定义

an

an-1

为常数得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n和b_n-1之间的关系．即bn= 

bn-1

1+bn-1

，两边取倒数，构造了{

1

bn

}这个等差数列．再根据公式求和．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=（λ+1）-λa_n∴S_n-1=（λ+1）-λa_n-1（n≥2）
∴a_n=-λa_n+λa_n-1即（1+λ）a_n=λa_n-1又λ≠-1且λ≠0
∴

an

an-1

=

λ

1+λ

又a₁=1
∴a_n是以1为首项，

λ

1+λ

为公比的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：q=f（λ）=

λ

1+λ

∴bn=f(bn-1)=

bn-1

1+bn-1

(n≥2)故有

1

bn

=

1+bn-1

bn-1

=

1

bn-1

+1∴

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)
∴{

1

bn

}是以3为首项，1为公差的等差数列
∴

1

bn

=n+2
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

=

n2+5n

2

点评：对于数列的题目，迭代的思想是最常用的方法，另外，已知递推关系式，求通项公式也是常见的题型，比如，构造等差数列，构造等比数列等．