Question

已知集合A={（x，y）||x|+|y|=4，x，y∈R}，B={（x，y）|x²+y²=r²，x，y∈R}，若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数r的值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意，分析A可得，其表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1围成的正方形，而B表示一个圆心在原点，半径为r的圆，若A∩B中的元素所对应的点即两个图象的交点恰好是一个正八边形的八个顶点，作出图形，求解可得答案．

解答：解：根据题意，对于A，
x≥0，y≥0时，有x+y=1，
x≥0，y＜0时，有x-y=1，
x＜0，y≥0时，有x-y=-1，
x＜0，y＜0时，有x+y=-1，
故A表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1围成的正方形，
而B表示一个圆心在原点，半径为r的圆，
若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，如图，
则OA=r，OD=4，
易得OB=2

2

，
∠BOA=

π

8

，
有r=

2 2

cos π 8

．
故答案为r=

2 2

cos π 8

．

点评：本题考查绝对值不等式的意义，以及交集的意义，解题时要结合图形，分析线段长度间的关系．