Question

已知函数，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线2x＋y＝0平行．

(Ⅰ)求a的值及切线l的方程；

(Ⅱ)求函数f(x)的极大值和极小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵切线l与直线　2x＋y＝0平行， 　　∴f′(x)＝ax2＋4x＋2＝－2，即ax2＋4x＋4＝0．　　2分 　　又这样的切线l仅有一条， 　　∴△16－16＝0，得a＝1． 　　将a＝1代入ax2＋4x＋4＝0，得x＝－2． 　　从而y＝，即切点坐标为(－2，)． 　　故：y－＝2(x＋2)，即6x－3y＋16＝0．　　6分 　　(Ⅱ)f′(x)＝x2＋4x＋2 　　由f′(x)＞0，得x＜－2－或x＞－2＋． 　　∴函数f(x)在(－∞，－2－和[－2＋，＋∞上单调增，在[－2－， 　　－2＋]上单调递减．　　　9分 　　故f(x)极大＝f(－2－)＝(1＋)； 　　f(x)极小＝f(－2＋)＝(1－)．　　　12分