Question

13．已知函数f（x）=x²-2ax+2lnx，
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，试求实数a的值；
（2）若函数f（x）在定义域上为增函数，试求实数a的取值范围；
（3）若y=f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，a≥$\frac{5}{2}$．若不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a；
（2）求得导数，由题意可得f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$≥0在x＞0恒成立，即有a≤x+$\frac{1}{x}$的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到a的范围；
（3）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，方程x²-ax+1=0有两个不等的正根，求得两根，求得范围；不等式f（x₁）≥mx₂恒成立即为$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₁³-2ax₁²+2x₁lnx₁=-x₁³-2x₁+2x₁lnx₁，
设h（x）=-x³-2x+2xlnx（0＜x≤$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的最小值，即可求得m的范围．

解答 解：（1）因为f（x）=x²-2ax+2lnx，
所以f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$．
因为在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，
所以2-2a+2=2，解得a=1；
（2）函数f（x）在定义域上为增函数，
即为f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$≥0在x＞0恒成立，
即有a≤x+$\frac{1}{x}$的最小值，由x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时，取得最小值2，
则有a≤2；
（3）函数f（x）的导数为f′（x）=2x-2a+$\frac{2}{x}$，
函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，即方程x²-ax+1=0有两个不等的正根，
由a≥$\frac{5}{2}$，可得判别式△=a²-4＞0．
因为x²-ax+1=0，
所以x₁x₂=1，x₁+x₂=a，x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{2}$≥2．
因为a≥$\frac{5}{2}$，所以0＜x₁≤$\frac{1}{2}$，
因为$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=x₁f（x₁）=x₁³-2ax₁²+2x₁lnx₁=-x₁³-2x₁+2x₁lnx₁，
设h（x）=-x³-2x+2xlnx（0＜x≤$\frac{1}{2}$），
则h′（x）=-3x²-2+2+2lnx=-3x²+2lnx，
因为0＜x＜$\frac{1}{2}$，则lnx＜0，
h'（x）＜0⇒h（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上单调递减，
则h（x）≥h（$\frac{1}{2}$）=-ln2-$\frac{9}{8}$．
所以m＜-ln2-$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于难题．