Question

【题目】在△ABC中， ， ，且△ABC的周长为 ．
（1）求点A的轨迹方程C；
（2）过点P（2，1）作曲线C的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．

∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．

∴点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．

设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．

则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2，

联立解得a=4，b=2．

（2）解：设直线与曲线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1+x2=4，y1+y2=2．∵A，B在椭圆上，∴ ，

两式相减，得 ∴ ，

∴ ，∴直线方程为x+2y﹣4=0

【解析】（1）由题意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4 ，|BC|=4 ．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此点A的轨迹为椭圆，去掉与x轴的交点．设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．则2a=8，c=2 ，b2=a2﹣c2 ， 联立解得即可得出．（2）设直线与曲线的交点为A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=2．由A，B在椭圆上，可得 ， 两式相减，利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．