Question

已知定义域为R的奇函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=3^x-2
（Ⅰ）若f(a)=

2

3

，求a的值；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数是奇函数，先求出f（x）的表达式，然后由f(a)=

2

3

，可求a的值；
（Ⅱ）利用不等式的性质解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=3^-x-2，则-f（x）=3^-x-2
得f（x）=-3^-x+2，（x＜0）．
∴f(x)=

3x-2(x＞0) 0(x=0) -3-x+2(x＜0)

．
①由

a＞0 3a-2= 2 3 ⇒3a= 8 3 ⇒a=log3 8 3 =log38-1＞0

，得a=log₃8-1．
②由

a＜0 -3-a+2= 2 3 ⇒3-a= 4 3 ⇒-a=log3 4 3 =log34-1

，得a=1-log₃4．
故a=log₃8-1或a=1-log₃4．
（Ⅱ）方法一：∵f(x)=

3x-2(x＞0) 0(x=0) -3-x+2(x＜0)

∴(1)

x＞0 3x-2＜1⇒x＜1

⇒0＜x＜1，
(2)

x=0 f(0)=0＜1

⇒x=0，
(3)

x＜0 -3-x+2＜1⇒3-x＞1⇒-x＞0⇒x＜0

⇒x＜0．
故不等式f（x）＜1的解集为（-∞，1）…（12分）
方法二：（图象法）如图，画出y=f（x）的图象，由图可得
不等式f（x）＜1的解集为（-∞，1）
方法3：（单调性法）
（1）当x＞0时，f（x）=3^x-2为增函数，
∵f（1）=1，
∴f（x）＜1?f（x）＜f（1）?0＜x＜1．
（2）当x=0时，f（x）=0＜1成立
（3）当x＜0时，∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（x）为（-∞，0）上的增函数，
由图象可得x→0时，f（x）→1，
则x＜0时，f（x）＜1恒成立．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式的解法，要注意利用分段函数，进行分类讨论此题有个错误解法，请看：
解：单调性的错误解法：当x＞0时，f（x）=3^x-2为增函数，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（x）为R上的增函数，∵f（1）=1，∴f（x）＜1?f（x）＜f（1）?x＜1
错因：∵f（x）在R上不是增函数，而是在（-∞，0）与（0，+∞）上均为增函数就象y=

1

x

在（-∞，0）与（0，+∞）上均为减函数，而不能说在其定义域上是减函数一样．