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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.设向量 =(a,c), =(cosC,cosA).
(1)若 ,c= a,求角A;
(2)若 =3bsinB,cosA= ,求cosC的值.

【答案】
(1)解:∵ ,∴acosA=ccosC.

由正弦定理,得sinAcosA=sinCcosC.

化简,得sin2A=sin2C.

∵A,C∈(0,π),∴2A=2C或2A+2C=π,

从而A=C(舍)或A+C= .∴

在Rt△ABC中,tanA= =


(2)解:∵ =3bcosB,∴acosC+ccosA=3bsinB.

由正弦定理,得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B,从而sin(A+C)=3sin2B.

∵A+B+C=π,∴sin(A+C)=sinB. 从而sinB=

,A∈(0,π),∴ ,sinA=

∵sinA>sinB,∴a>b,从而A>B,B为锐角,

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB,

=


【解析】(1)利用向量共线定理和倍角公式可得sin2A=sin2C.再利用正弦函数的单调性、诱导公式即可得出;(2)利用向量垂直与数量积的关系、正弦定理、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:

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