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已知动圆M过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心M的轨迹为H.
(1)求曲线H的方程;
(2)一条直线AB经过点F交曲线H于A、B两点,点C为x=-1上的动点,是否存在这样的点C,使得△ABC是正三角形?若存在,求点C的坐标;否则,说明理由.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:压轴题,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(1)由题意圆心为M的动圆M过点(1,0),且与直线x=-1相切,利用抛物线的定义,可得圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线,从而得到所求轨迹方程.
(2)假设存在这样的点C,使得△ABC是正三角形,由方程组化简得出二次方程,再得AB的中点坐标M(2t2+1,2t),先确定AB的斜率必存在,再利用CM⊥AB知kCMkAB=-1,确定C(-1,-2t3),利用
3
2
|AB|=|CM|,求出t的值,从而可得点C的坐标,即可得出结论.
解答: 解:(1)由题意圆心为M的动圆M过点(1,0),且与直线x=-1相切,
所以圆心M的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线,
∴圆心M的轨迹方程为y2=4x.F(1,0)
故曲线H的方程为:y2=4x.
(2)假设存在点C,使得△ABC为正三角形,
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(-1,m),
直线AB的方程.
y2=4x
x=ty+1
,化简得:y2-4ty-4=0,y1+y2=4t,y1y2=-4
x1+x2=4t2+2,得AB的中点坐标M(2t2+1,2t),
①当直线的斜率不存在时,t=0,A(1,2),B(1,-2),可能C(-1,0),
AB=4,AC=BC=2
2
,不可能为正三角形,
②当直线的斜率存在时,M(2t2+1,2t),A(x1,y1),B(x2,y2),C(-1,m),
|AB|=x1+x2+2=4t2+2+2=4t2+4
∵△ABC是正三角形,
∴KCM•KAB=-1,
即-
m-2t
2t2+2
1
t
=-1,得m=2t3+4t
∴C(-1,2t3+4t),
∵|CM|=
(2t+2t3)2+(2t2+2)2
=(2t2+2)
t2+1

3
2
(4t2+4)=(2t2+2)
t2+1

解得:t=±
2
,m=2(
2
3+4
2
=8
2

所以存在这样的点C(-1,±8
2
),使得△ABC是正三角形
点评:本题考查了抛物线的几何性质,判断是否存在满足条件的点使得三角形为正三角形.具体涉及到抛物线的简单性质,直线和抛物线的位置关系,是难题.
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B、
11
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1
2
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A、
1
3
B、
1
4
C、
1
5
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1
6

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