Question

（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．
（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：综合题,立体几何

分析：（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．

解答： 证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，
∴∠EBD=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠EBD=∠CBD；
（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，
∴△EBD∽△EAB，
∴

BE

AE

=

BD

AB

，
∴AB•BE=AE•BD，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
∴AB•BE=AE•DC．

点评：本题考查弦切角定理，考查三角形的相似，考查角平分线的性质，属于中档题．