Question

【题目】已知函数f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，其中a＞0．
（1）设g（x）是f（x）的导函数，求函数g（x）的极值；
（2）是否存在常数a，使得x∈[1，+∞）时，f（x）≤0恒成立，且f（x）=0有唯一解，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=2xlnx﹣x2+2ax，（x＞0）求导，g（x）=f′（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）

g′（x）= ﹣2=﹣ ，（x＞0）

当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，

g（x）在（0，1）单调递增；在（1，+∞）单调递减，

∴当x=1时，取极大值，极大值为g（1）=2a，无极小值

（2）解：由（1）知：f′（1）=2a＞0，且f′（x）在（1，+∞）单调递减，且x→+∞时，f′（x）＜0，

则必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减；

且f′（x0）=2lnx0+2﹣2x0+2a=0，即a=﹣lnx0﹣1+x0，①

此时：当x∈[1，+∞）时，由题意知：只需要找实数a使得f（x）max=f（x0）=0，

f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0，将①式代入知：

f（x0）=2x0lnx0﹣x02+2ax0=2x0lnx0﹣x02+2x0（﹣lnx0﹣1+x0）=x02﹣2x0=0，

得到x0=2，从而a=﹣lnx0﹣1+x0=1﹣ln2，

∴a的值为1﹣ln2

【解析】（1）求导，求得g（x）=2lnx+2﹣2x+2a，（x＞0）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数g（x）的极值；（2）由（1）可知：必然存在x0＞1，使得f（x）在（1，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且f′（x0）=0，求得a的表达式，存在a使得f（x）max=f（x0）=0，代入即可求得x0，即可求得a的值．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．