Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点,两个焦点分别为F₁(-2,0),F₂(2,0),点A(2,3)在椭圆C₁上,过点A的直线L与抛物线C₂:x²=4y交于B,C两点,抛物线C₂在点B,C处的切线分别为l₁,l₂,且l₁与l₂交于点P.
(1)求椭圆C₁的方程;
(2)是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P?若存在,指出这样的点P有几个(不必求出点P的坐标);若不存在,说明理由.

Answer 1

（1）+=1  （2）存在，有2个

解:(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由题意可知2a=+=8.
∴a=4,b²=a²-c²=12.
∴椭圆方程为+=1.
(2)设B（x₁,）,C（x₂,）,
直线BC的斜率为k,则k=.
由y=x²,得y′=x.
∴点B、C处的切线l₁、l₂的斜率分别为x₁,x₂,
∴l₁的方程为y-=x₁(x-x₁),
即y=x₁x-,
同理,l₂的方程为y=x₂x-.
由
解得
∴P(2k,2k-3).
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|,
∴点P在椭圆C₁:+=1上,
∴+=1.
化简得7k²-12k-3=0.(*)
由Δ=12²-4×7×(-3)=228>0,
可得方程(*)有两个不等的实数根.
∴满足条件的点P有两个.