Question

设F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过F且与抛物线C对称轴垂直的直线被抛物线C截得线段长为4．
（1）求抛物线C方程．
（2）设A、B为抛物线C上异于原点的两点且满足FA⊥FB，延长AF、BF分别抛物线C于点C、D．求：四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

（1）由条件得2p=4，∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）两直线垂直，焦点为（1，0），不妨设两直线为：y=k（x-1）（k≠0）与ky=1-x
y=k（x-1）与抛物线方程联立，可得k² x²-2（k²+2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则|x₁-x₂|=

△

|a|

=

4 k2+1

k2

∴弦长|AC|=

k2+1

|x₁-x₂|=

4(k2+1)

k2

同理可得，弦长|BD|=4（k²+1）
∵两条直线相互垂直，∴这个四边形的面积S=

1

2

|AC||BD|=8（k2+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32
当且仅当k=±1时等号成立，此时取到面积最小值为32．