Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，则“S_n=pn²+qn+r，其p，q，r为常数，且p≠0”是“{a_n}为等差数列”的（　　）

• A、充分而不必要条件
• B、必要而不充分条件
• C、充分必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义和性质进行推导即可．

解答： 解：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn+r-p（n-1）²-q（n-1）-r=2np+q-p，
当n=1时，a₁=S₁=p+q+r，
若r=0，则a₁满足a_n=2np+q-p，此时{a_n}为等差数列，
若r≠0，则a₁不满足a_n=2np+q-p，此时{a_n}不是等差数列，
故S_n=pn²+qn+r，其p，q，r为常数，且p≠0时，{a_n}不一定是等差数列，即充分性不成立，
若{a_n}为等差数列，当d=0时，S_n=na₁，此时p=0，故必要性不成立，
故“S_n=pn²+qn+r，其p，q，r为常数，且p≠0”是“{a_n}为等差数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D

点评：本题主要考查充分条件和必要条件，利用等差数列的性质是解决本题的关键．