Question

已知中心在坐标原点，坐标轴为对称轴的椭圆C和等轴双曲线C₁，点在曲线C₁上，椭圆C的焦点是双曲线C₁的顶点，且椭圆C与y轴正半轴的交点M到直线的距离为4．
（Ⅰ）求双曲线C₁和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的两动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等轴双曲线C₁的方程为x²-y²=λ（λ≠0）
因C₁过点，所以，解得λ=4
所以等轴双曲线C₁的方程为x²-y²=4…（3分）
因为双曲线的顶点即椭圆的焦点坐标为（-2，0），（2，0）
所以可设椭圆的方程为，且M（0，b）
因为M（0，b）到直线的距离为4，所以
∴
∴椭圆C的方程为…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为
把代入并化简得x²+tx+t²-12=0
由△＞0，解得-4＜t＜4，
由韦达定理得…（9分）
又直线x=2与椭圆C相交于P、Q两点，所以|PQ|=6
所以四边形APBQ的面积
则当t=0，面积的最大值为，即…（12分）
分析：（Ⅰ）设等轴双曲线C₁的方程，利用C₁过点，即可求得等轴双曲线C₁的方程；根据双曲线的顶点即椭圆的焦点坐标，可设椭圆的方程，利用M到直线的距离为4，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程代入椭圆方程并化简，可得一元二次方程，进而可表示四边形APBQ的面积，从而可求四边形APBQ面积的最大值．
点评：本题考查双曲线、椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形面积的计算，正确表示四边形的面积是关键．