Question

本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（Ⅰ）直线l₁：x=-4先经过矩阵A=

4 m n -4

作用，再经过矩阵B=

1 1 0 -1

作用，变为直线l₂：2x-y=4，求矩阵A．
（Ⅱ）已知直线l的参数方程：

x=t y=1+2t

（t为参数）和圆C的极坐标方程：p=2

2

sin（θ+

π

4

）．判断直线l和圆C的位置关系．
（Ⅲ）解不等式：|x|+2|x-1|≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为直线l₁经矩阵A所对应的变换得直线l，直线l又经矩阵B的变换得到直线l₂．故直线l₁经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l₂，故可求出矩阵BA，即求出参量m，n得矩阵A．
（Ⅱ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
（III）根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，②当0≤x＜1时，③当x≥1时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．

解答：解：（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l₁经矩阵BA所对应的变换可直接得到直线l₂
BA=

1 1 0 -1

•

4 m n -4

=

4+n m-4 -n 4

，得l₁变换到l₂的变换公式

x′=(4+n)x+(m-4)y y′=-nx+4y

，
则由l₂：2x-y=4得到直线2[（4+n）x+（m-4）y]-[-nx+4y]-4=0，即（3n+8）x-（2m-12）y-4=0
即直线l₁：x=-4，比较系数得m=6，n=-3，
此时矩阵A=

4 6 -3 -4

（II）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，
ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），即ρ=2（sinθ+cosθ），
两边同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐标方程为（x-1）²+（x-1）²=2；
圆心C到直线l的距离d=

|2-1+1|

22+1 2

=

2 5

5

＜

2

，
所以直线l和⊙C相交．
（III）根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-3x+2≤4，
解得-

2

3

≤x＜0，
②当0≤x≤1时，原不等式可化为2-x≤4，即x≥-2
解得0≤x≤1，
③当x≥1时，原不等式可化为3x-2≤4，
解得 1＜x≤2．
综上，原不等式的解集为{x|-

2

3

≤x≤2}．

点评：（I）此题主要考查了矩阵变换，属于基础性试题．
（II）本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．
（III）本题考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．