Question

某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为100元；若T＞3，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3，T＞3这三种情况发生的概率分别为p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）记λ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃，可求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，求出相应的概率，可得λ的分布列；
（Ⅲ）利用期望公式可求销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值．

解答：解：（Ⅰ）∵p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的两个根，且p₂=p₃，
∴p₁+p₂=

15

25

=

3

5

，∴p₃=

2

5

，∴p₁=

1

5

（Ⅱ）λ的可能取值为0，100，200，300，400，则P（λ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

；P（λ=10）=

1

5

×

1

5

+

2

5

×

1

5

=

4

25

；
P（λ=20）=

2

5

×

2

5

+

1

5

×

2

5

+

2

5

×

1

5

=

8

25

；P（λ=30）=

2

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

；
P（λ=40）=

2

5

×

2

5

=

4

25

∴λ的分布列为

λ	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

（Ⅲ）销售两台这种家用电器的销售利润总和的期望值Eλ=0×

1

25

+100×

4

25

++200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算概率是关键．