Question

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与直线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直线AC到面A₁BC₁的距离；
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出C，C₁两点的坐标．

Answer 1

（1）解：在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，
∵AC∥A₁C₁，AC∥BE，
∴BE∥A₁C₁，
∴面A₁BC₁与面ABCD的交线l与BE重合，
即直线BE就是所求的直线l．
∵BE∥A₁C₁，
l与BE重合，
∴l∥A₁C₁．
（2）证明：连接B₁D₁，
∵A₁B₁C₁D₁是正方形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵A₁C₁⊥DD₁，
∴A₁C₁⊥面DBB₁D₁，
∴A₁C₁⊥B₁D．
同理A₁B⊥面ADC₁B₁，
∴A₁B⊥B₁D，
∵A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）解：∵AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，
∴AC∥面A₁BC₁，
∴直线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，记为h，
在三棱锥中A-A₁BC₁中，
，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD棱长为a，
∴=••h=×sin60°=，
=•A₁C₁==，
∵，
∴．
（4）解：若以A为坐标原点，
分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱长为a，
∴C（a，a，0），C₁（a，a，a）．

分析：（1）在平面ABCD内过点B作AC的平行线BE，由AC∥A₁C₁，AC∥BE，知BE∥A₁C₁，故直线BE就是所求的直线l．且l∥A₁C₁．
（2）由A₁C₁⊥面DBB₁D₁，知A₁C₁⊥B₁D．由A₁B⊥面ADC₁B₁，知A₁B⊥B₁D，所以B₁D⊥面A₁BC₁．
（3）AC∥A₁C₁，且AC在面A₁BC₁外，A₁C₁?面A₁BC₁，所以AC∥面A₁BC₁，直线AC到面A₁BC₁的距离即为点A到面A₁BC₁的距离，记为h，由等积法能求出．
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，能写出C，C₁两点的坐标．
点评：本题考查空间中点、线、面间的距离，证明直线和平面垂直，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答．