Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足：bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

2

，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，证明：{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）设S_k=a₂+a₄+…+a_2k，k∈N^*，证明：

4n

k=1

Sk

ak

＜

7

6

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求a₃，a₄，a₅的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．
（Ⅱ）化简出a_2n-1+a_2n+1，a_2n+1+a_2n+3的关系，即：c_n+1与c_n的关系，从而证明{c_n}是等比数列；就是利用（Ⅰ）的bn=

1，n为奇数 2，n为偶数

，用2n-1，2n，2n+1，替换bnan+an+1+bn+1an+2=0，bn=

3+(-1)n

2

中的n，化简出只含“a_n”的关系式，就是a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③然后推出a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1），得到c_n+1=-c_n（n∈N^*），从而证明{c_n}是等比数列；
（Ⅲ）先研究通项公式a_2k，推出S_k的表达式，然后计算

Sk

ak

，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，对任意k∈N^*且k≥2，列出n个表达式，利用累加法求出a_2k=（-1）^k+1（k+3）．化简
S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，k∈N^*，

4n

k=1

Sk

ak

=

n

m=1

(

S4m-3

a4m-3

+

S4m-2

a4m-2

+

S4m-1

a4m-1

+

S4m

a4m

)，通过裂项法以及放缩法证明：

4n

k=1

Sk

ak

＜

7

6

(n∈N*)．

解答：20、满分14分．
（I）解：由bn=

3+(-1)n

2

，n∈N*，
可得bn=

1，n为奇数 2，n为偶数

又b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，

当n=1时，a1+a2+2a3=0，由a1=2，a2=4，可得a3=-3； 当n=2时，2a2+a3+a4=0，可得a4=-5； 当n=3时，a3+a4+2a5=0，可得a5=4．

（II）证明：对任意n∈N^*，a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③，得a_2n=a_2n+3．④
将④代入①，可得a_2n+1+a_2n+3=-（a_2n-1+a_2n+1）
即c_n+1=-c_n（n∈N^*）
又c₁=a₁+a₃=-1，故c_n≠0，
因此

cn+1

cn

=-1，所以{cn}是等比数列．
（III）证明：由（II）可得a_2k-1+a_2k+1=（-1）^k，
于是，对任意k∈N^*且k≥2，有

a1+a3=-1， -(a3+a5)=-1， a5+a7=-1， ? (-1)k(a2k-3+a2k-1)=-1.

将以上各式相加，得a₁+（-1）^ka_2k-1=-（k-1），
即a_2k-1=（-1）^k+1（k+1），
此式当k=1时也成立．由④式得a_2k=（-1）^k+1（k+3）．
从而S_2k=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a_4k-2+a_4k）=-k，S_2k-1=S_2k-a_4k=k+3．
所以，对任意n∈N^*，n≥2，

4n

k=1

Sk

ak

=

n

m=1

(

S4m-3

a4m-3

+

S4m-2

a4m-2

+

S4m-1

a4m-1

+

S4m

a4m

)=

n

m=1

(

2m+2

2m

-

2m-1

2m+2

-

2m+3

2m+1

+

2m

2m+3

)=

n

m=1

(

2

2m(2m+1)

+

3

(2m+2)(2m+2)

)=

2

2×3

+

n

m=2

5

2m(2m+1)

+

3

(2n+2)(2n+3)

＜

1

3

+

n

m=2

5

(2m-1)(2m+1)

+

3

(2n+2)(2n+3)

=

1

3

+

5

2

•[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]+

3

(2n+2)(2n+3)

= 1 3 + 5 6 - 5 2 • 1 2n+1 + 3 (2n+2)(2n+3) ＜ 7 6 .

对于n=1，不等式显然成立．

点评：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1的验证，裂项法和放缩法的应用．