Question

5．给出以下4个命题；
①曲线y=$\frac{1+cosx}{sinx}$在点（$\frac{π}{2}$，1）处的切线与直线x+y+1=0平行；
②若函数f（x）=x+asinx在R上单凋递增，则实数a的取值范围为-1≤a≤1；
③若f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x），…，f_n（x）=f′_n-1，n∈N^*，则f₂₀₁₆（x）=sinx；
④函数f（x）=sin（πcosx）在区间[0，2π]上的零点个数是4．
其中正确的命题是①③（写出正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①y′=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$，可得${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=-1．可得曲线在点（$\frac{π}{2}$，1）处的切线方程为：y-1=-$（x-\frac{π}{2}）$，化简利用两条平行线之间的关系即可得出；
②若函数f（x）=x+asinx在R上单凋递增，可得f′（x）=1+acosx≥0，当x=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）时，上式恒成立；当x≠$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）时，上式化为$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$，即可得出范围；
③利用导数的运算法则可得：f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx=f₀（x），…，可得f_n+4（x）=f_n（x）即可判断出；
④由于x∈[0，2π]，可得x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π时，则f（x）=sin（πcosx）=0，因此f（x）有5个零点，即可判断出正误．

解答 解：①曲线y=$\frac{1+cosx}{sinx}$，y′=$\frac{-sinx-（1+cosx）cosx}{si{n}^{2}x}$=$\frac{-1-cosx}{si{n}^{2}x}$，∴${y}^{′}{|}_{x=\frac{π}{2}}$=$\frac{-1-cos\frac{π}{2}}{si{n}^{2}\frac{π}{2}}$=$\frac{-1}{1}$=-1．∴曲线在点（$\frac{π}{2}$，1）处的切线方程为：y-1=-$（x-\frac{π}{2}）$，化为x+y-1-$\frac{π}{2}$=0，因此与直线x+y+1=0平行，正确；
②若函数f（x）=x+asinx在R上单凋递增，∴f′（x）=1+acosx≥0，当x=$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）时，上式恒成立；当x≠$kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z）时，上式化为$a≥-\frac{1}{cosx}$或$a≤-\frac{1}{cosx}$，∴a≥-1或a≤1，因此不正确；
③∵f₀（x）=sinx，f₁（x）=f′₀（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx=f₀（x），…，可得f_n+4（x）=f_n（x），∴f₂₀₁₆（x）=f_504×4（x）=f₀（x）=sinx，
因此正确；
④∵x∈[0，2π]，∴x=0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π时，πcosx分别等于：π，0，-π，0，π，则f（x）=sin（πcosx）=0，因此f（x）有5个零点，因此不正确．
函数f（x）=sin（πcosx）在区间[0，2π]上的零点个数是5．
综上其中正确的命题是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性切线函数值、函数零点判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．