Question

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB于D，令圆锥体的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBA=∠β，求出上部两个圆锥的体积的和，再求出大圆锥的体积，两个之比为，然后求出β的值．
解答：解；设过A点的一条母线为BC，其中B为顶点，过A点作OB的垂线交OB于D，
令圆锥的体积为V，OC=R，DA=r，母线与轴夹角为∠OBO=∠β
将OBA看作是底面积相等的两个锥形，
r²π•BD+r²π•0D=Vr²π•OB=V…①
V=R²π•OB…②
由①、②得
R²=2•r²（R=r），r=OA•COSβ
OA=R•COSβ，r=R•COS²β，COS²β==
β=
故选D．
点评：本题考查圆锥的结构特征，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．