Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N⁺）．
（1）证明：{log₂（a_n+1）}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{b_n}满足b_n=

an+1

an+1

，求证：b_n=

an+1-an

anan+1

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，得log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），由此能证明{log₂（a_n+1）}是等比数列，从而能求出a_n=22n-1-1．
（2）由已知得

an+1-an

anan+1

=

an2+an

anan+1

=

an+1

an+1

，结合b_n=

an+1

an+1

，综合可得答案．

解答： （1）证明：∵a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∴log₂（a_n+1+1）=2log₂（a_n+1），
∴

log2(an+1+1)

log2(an+1)

=2，
∴{log₂（a_n+1）}是等比数列，
∵log₂（a₁+1）=log₂2=1，
∴log2(an+1)=2n-1，
∴a_n=22n-1-1．
（2）证明：

an+1-an

anan+1

=

an2+an

anan+1

=

an+1

an+1

；
而b_n=

an+1

an+1

，
故b_n=

an+1-an

anan+1

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用．