Question

有如下结论：“圆x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为x₀y+y₀y=r²”，类比也有结论：“椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点P(x0，y0)处的切线方程为

x   0 x

a2

+

y0y

b2

=1”，过椭圆C：

x2

4

+y2=1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）求证：直线AB恒过一定点；
（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，及2个切点的坐标，由椭圆方程写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到2个切点所在的直线方程，把右焦点坐标代入检验．
（2）把AB的方程代入椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，求出2根之和、2根之积，用弦长公式求弦长|AB|，再求出M 到AB的距离d，计算面积．

解答：解：
（1）设M(

4 3

3

，t)(t∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA的方程为

x1x

4

+y1y=1
∵点M在MA上∴

3

3

x1+ty1=1，同理可得

3

3

x2+ty2=1②（3分）
由①②知AB的方程为

3

3

x+ty=1，即x=

3

(1-ty)（4分）
易知右焦点F（

3

，0）满足③式，（5分）
故AB恒过椭圆C的右焦点F（

3

，0）（6分）
（2）把AB的方程 x=

3

（1-y）代入椭圆化简得，7y²-6y-1=0，
y₁+y₂=

6

7

，y₁•y₂=-

1

7

∴|AB|=

1+ 1 k2

•|y₁-y₂|=

1+3

•

36+28

7

=

16

7

，
又M 到AB的距离d=

| 4 3 3 |

1+3

=

2 3

3

，
△ABM的面积 S=

1

2

•|AB|•d=

16 3

21

．

点评：本题考查直线过定点、弦长公式、及点到直线的距离公式．